Qu’est-ce qu’une énigme logique ?

Le philosophe du vingtième siècle Ludwig Wittgenstein a écrit un jour que « la logique s’occupe d’elle-même ; il suffit de regarder et de voir comment elle le fait » : « La logique s’occupe d’elle-même ; tout ce que nous avons à faire, c’est de regarder et de voir comment elle le fait. Ces mots mettent en évidence le cœur du problème concernant la signification de la logique, à savoirqu’il est impossible de la définir et que tout ce que nous pouvons faire est d’observer comment elle fonctionne à mesure que nous l’utilisons. C’est d’ailleurs devenu un principe majeur du mouvement philosophique du pragmatisme du vingtième siècle.

Ce qui la rend difficile à cerner, c’est que la logique n’est pas une construction unique ; elle se décline sous différentes formes et styles de pensée. À l’instar de Wittgenstein, le meilleur moyen de comprendre ce qu’est la logique est peut-être de l’illustrer par des énigmes fondées sur certains aspects de la logique. Lewis Carroll a été l’un des premiers à comprendre ce principe. Il a déconstruit la logique syllogistique aristotélicienne dans deux merveilleux ouvrages : Lalogique symbolique (1896) et Le jeu de la logique (1886).

Par exemple : Si tous les humains sont mortels et que je suis un humain, alors je dois conclure que je suis moi aussi mortel. Cette conclusion est claire et inévitable et, dans ce cas, correspond à la vérité et à la réalité. Mais, toujours rusé, Carroll s’est aussi moqué de ce genre de raisonnement en inventant des syllogismes manifestement ridicules, même s’ils étaient conformes aux règles de la logique syllogistique. Il appelait ces syllogismes des « sillygisms ». En voici quelques exemples :

  1. Un homme prudent évite les hyènes
  2. Aucun banquier n’est imprudent
  3. Conclusion : Aucun banquier n’échoue à éviter les hyènes
  1. Aucune créature chauve n’a besoin d’une brosse à cheveux
  2. Aucun lézard n’a de poils
  3. Conclusion : Aucun lézard n’a besoin d’une brosse à cheveux

Dans l’une de ses énigmes classiques, Carroll a montré que la logique peut en fait contredire ce que nous pourrions penser être le bon sens. Voici une paraphrase de son énigme :

Vous avez deux horloges. L’une ne bouge pas du tout et l’autre perd une minute par jour. Laquelle préférez-vous ?

Nous pourrions choisir l’horloge qui perd une minute par jour puisque nous aurions, au minimum, une heure approximative avec cette horloge, alors que l’horloge arrêtée ne fonctionne pas du tout. Mais Carroll a choisi cette dernière.

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Pour comprendre sa logique, étiquetons les horloges comme suit : (1) A = l’horloge qui ne bouge pas du tout ; (2) B = l’horloge qui perd une minute par jour. L’horloge B devra perdre 12 heures pour se synchroniser à nouveau avec l’horloge A. Comme il faut 60 jours pour perdre une heure, il lui faudra 60 x 12 = 720 jours pour se synchroniser à nouveau. Cela représente un peu moins de deux ans. Il faudra donc presque deux ans pour que l’horloge qui perd une minute par jour indique à nouveau l’heure exacte. L’horloge arrêtée, quant à elle, indique l’heure exacte deux fois par jour. Carroll en conclut que l’horloge arrêtée est logiquement la meilleure.

Qu’est-ce qu’une énigme logique ? Comme la logique elle-même, elle ne peut être définie aussi facilement. Elle peut nous demander de tirer une conclusion spécifique d’une série d’énoncés ou de faits ; elle peut nous demander de comprendre certaines relations présentes dans des faits donnés ; elle peut nous demander d’identifier l’élément d’un ensemble qui n’en fait pas partie ; et ainsi de suite.

Cependant, deux caractéristiques générales s’appliquent à tous les casse-tête logiques. Tout d’abord, aucune information ou connaissance spécifique n’est requise pour les résoudre. Deuxièmement, il faut faire preuve d’une grande rigueur de pensée, en rapprochant les faits et en évaluant leur cohérence. L’un des plus grands créateurs d’énigmes logiques du XXe siècle, Henry E. Dudeney, est allé jusqu’à affirmer que : « L’histoire des énigmes n’est rien d’autre que l’histoire réelle des débuts et du développement de la pensée exacte chez l’homme. Les énigmes présentées ici sont des versions des énigmes logiques classiques, conçues pour mettre en lumière divers aspects de la pensée logique.

Le philosophe français René Descartes refusait d’accepter toute croyance, même la croyance en sa propre existence, à moins de pouvoir « prouver » qu’elle était logiquement vraie. Descartes soutenait que la logique était le seul moyen efficace de résoudre tous les problèmes humains, dont la plupart étaient causés par les émotions et les passions. Comme M. Spock dans la saga Star Trek, il pensait que la logique pouvait être utilisée à bon escient pour améliorer la condition humaine, car les « erreurs » de pensée pouvaient être réduites à des erreurs de logique et donc facilement corrigées. Cependant, comme Spock le constate constamment, si seulement la vie humaine était aussi simple !

Casse-tête

Vous connaissez peut-être déjà certaines de ces noix classiques, car elles ont été recyclées à maintes reprises. Mais même si vous les connaissez déjà, les différentes versions peuvent vous procurer un certain plaisir.

1. La semaine dernière, trois jeunes hommes, Alex, Raj et Francesco, et trois jeunes femmes, Jill, Caterina et Shamila, ont décidé d’aller danser ensemble. L’une des femmes était habillée en rouge, l’autre en vert et la troisième en bleu. Les hommes portaient également des tenues de ces trois couleurs. À un moment donné, Alex, qui était habillé en rouge et qui dansait avec Shamila, s’est retourné et a dit à Jill, qui était habillée en vert et qui dansait avec Raj : « Aucun d’entre nous ne danse avec un partenaire habillé de la même couleur ». Pouvez-vous dire quelles couleurs ils portaient ?

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2. Sur une table se trouvent cinq boules de billard, dont l’une pèse moins que les quatre autres. Sinon, elles sont identiques. Quel est le plus petit nombre de pesées que vous devrez effectuer à l’aide d’une balance pour être sûr d’identifier la boule coupable ?

3. Cinq personnes ont été interrogées hier. L’une d’entre elles était soupçonnée d’avoir dévalisé une banque. Voici ce que chacun a dit :

Virginia : Je ne l’ai pas fait.

Sonya : Je ne l’ai pas fait.

Doreen : Sonya est innocente.

Mitch : Je ne l’ai pas fait.

Lisa : Virginia est innocente.

Quatre des suspects ont dit la vérité, un a menti. Pouvez-vous identifier le voleur ?

4. Une pièce d’or rare est placée dans l’une des trois boîtes, qui sont ensuite fermées à clé. Chaque boîte porte une inscription : BOÎTE A : « La pièce est ici » ; BOÎTE B : « La pièce est ici » ; BOÎTE C : « La pièce est en A ». Pouvez-vous dire dans quelle boîte se trouve la pièce si une seule des inscriptions est vraie ?

5. Dans une boîte, il y a 21 boules, 2 blanches, 2 noires, 14 vertes et 3 rouges. Les yeux bandés, quel est le plus petit nombre que vous devez tirer pour être sûr d’obtenir une paire de boules de la même couleur (2 blanches, 2 noires, 2 vertes, 2 rouges) ?

6. Il s’agit d’une énigme inventée par le philosophe Max Black dans les années 1940 ; il l’a conçue comme un exemple pour montrer ce que la pensée critique peut impliquer. Elle est connue sous le nom de « problème de l’échiquier mutilé ». Retirez deux cases de coin opposées d’un échiquier typique. Un échiquier comporte 64 cases, alternativement noires et blanches. On vous donne un grand nombre de dominos, chacun de la taille de deux cases de l’échiquier, chacun étant également à moitié noir et à moitié blanc, de sorte que lorsque vous le placez sur l’échiquier, il recouvre parfaitement une case noire et une case blanche. Est-il possible de couvrir tout l’échiquier avec les dominos ? Les dominos ne peuvent pas être superposés et doivent être posés à plat.

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7. Un garçon répond à son téléphone portable. « Il demande : « Qui est à l’appareil ? Un homme répond : « Devinez La mère de votre mère est ma belle-mère. Qui est cet homme ?

8. Si un tiroir contient six paires de gants noirs et six paires de gants blancs, tous mélangés. Avec un bandeau sur les yeux, quel est le plus petit nombre de tirages nécessaires pour garantir une paire de gants noirs ou blancs correspondante ?

9. Six amis – Amber, Jill, Eddy, Kristina, Sierra et Louie – se sont retrouvés pour une course à pied amicale. Amber a battu quatre autres, mais est arrivée derrière Jill. Eddy a battu Kristina. Sierra a battu Louie, mais pas Kristina. Qui est arrivé en troisième position ?

10. Considérez l’énigme suivante : « un impair, un dehors ». Dans l’ensemble des chiffres, l’un d’entre eux n’appartient pas à l’ensemble. Lequel ? C’est une question assez délicate. Notez que la question utilise le mot  » chiffres » et non « nombres ».

1234, 8011, 7102, 8211, 5212, 1117, 2332

Réponses

1. Alex est habillé en rouge, donc Shamila ne peut pas être habillée de la même couleur. Elle n’est pas non plus habillée en vert, puisque Jill l’est. Par élimination, Shamila est donc habillée en bleu. Puisque Jill est habillée en vert et Shamila en bleu, c’est donc Caterina qui est habillée en rouge. Or, Raj danse avec Shamila qui est en bleu ; il n’est donc pas habillé dans cette couleur, et il n’est pas non plus habillé en rouge, puisque c’est le cas d’Alex. Il est donc habillé en vert. Francesco est donc le jeune homme habillé en bleu. Résumé: Alex-rouge ; Raj-vert ; Francesco-bleu ; Jill-vert ; Shamila-bleu ; Caterina-rouge.

2. Nous aurons besoin de deux pesées. Nous mettons une balle de côté. Il reste donc quatre boules à peser. Nous en plaçons donc deux sur un plateau de la balance et deux sur l’autre. Si les plateaux s’équilibrent, cela signifie que toutes les boules de la balance pèsent le même poids et donc que la boule coupable est celle que nous avions mise de côté. Mais nous ne pouvons pas supposer que cela se produira, car cela relève de la chance et non de la logique. On nous demande d’être sûrs, pas d’avoir de la chance. Nous envisageons donc l’autre possibilité : l’une des deux casseroles se lève et l’autre tombe. Cela signifie que celle qui s’élève contient la boule suspecte, puisqu’elle pèse moins lourd. Nous écartons maintenant les deux bonnes boules et plaçons chacune des deux autres boules, dont l’une est la boule suspecte, sur des plateaux séparés. À nouveau, la casserole qui tombe contient la boule coupable. Résumé: il faudra deux pesées pour être sûr d’identifier la boule coupable.

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3. Virginia et Lisa disent la même chose de manière différente, à savoir que Virginia est innocente. Leurs affirmations sont donc soit vraies, soit fausses. Elles ne peuvent pas être fausses puisqu’on nous dit qu’il n’y a qu’une seule affirmation fausse dans l’ensemble. Elles sont donc toutes les deux vraies. De même, Sonya et Doreen disent la même chose, à savoir que Sonya est innocente. Leurs affirmations sont donc soit vraies, soit fausses. Elles ne peuvent pas être fausses puisqu’il n’y a qu’une seule affirmation fausse dans l’ensemble. Elles sont donc toutes les deux vraies. En résumé, les quatre personnes qui disent la vérité sont Virginia, Sonya, Doreen et Lisa. Cela signifie que Mitch est le menteur et que, contrairement à ce qu’il dit, il est le voleur.

4. Si l’inscription sur A est vraie, alors celle sur C l’est aussi, puisqu’elles indiquent toutes deux que la pièce se trouve en A. Cela signifie qu’elles sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses. Elles ne peuvent pas être vraies puisqu’on nous dit qu’une seule des inscriptions était vraie. Elles sont donc toutes les deux fausses. Cela signifie que l’inscription sur B était la vraie. Comme elle le dit, la pièce se trouve à l’intérieur de B.

5. Nous ne pouvons pas faire appel à la chance, car nous devons être sûrs de tirer une paire de boules identiques. Supposons donc le pire des scénarios, c’est-à-dire que nous tirons une boule blanche, une noire, une verte et une rouge dans un certain ordre. Ce sont les couleurs des quatre boules qui se trouvent maintenant à l’extérieur de la boîte. Le prochain tirage de la boîte produira une boule de l’une de ces couleurs, et donc une correspondance avec l’une des boules qui se trouvent déjà à l’extérieur. Il faudra donc cinq tirages au total pour être sûr.

6. Ce n’est pas possible. Les cases des coins opposés qui ont été enlevées sont de la même couleur. En d’autres termes, si deux cases blanches ou deux cases noires sont retirées du plateau, il ne restera pas un nombre égal de cases noires et de cases blanches. Chaque domino doit couvrir une case noire et une case blanche.

7. C’est le père du garçon. La mère de la mère du garçon, qui est sa grand-mère, est la belle-mère de son père.

8. Dans le pire des cas, nous pourrions dessiner les 12 gants pour gauchers, des deux couleurs. Cependant, le treizième gant sera un gant de droitier et correspondra également à l’un des douze gants précédents déjà sortis en couleur. Il faut donc tirer 13 gants pour s’assurer d’obtenir une paire de gants assortis.

9. Il y a six places : première place, deuxième place, troisième place, quatrième place, cinquième place et sixième place. Le fait que Amber (A) soit arrivée avant quatre autres mais après Jill (J) permet de conclure qu’Amber est arrivée deuxième et Jill première : J-A. Parmi les quatre autres, on nous dit qu’Eddy (E) a battu Kristina (K) et que Sierra (S) a battu Louie (L) mais pas Kristina : E-K- S-L. Nous joignons cette partie de la formule à l’autre partie ci-dessus pour obtenir : J-A-E-K-S-L. Cela montre qu’Eddy est arrivé en troisième position.

10. À l’exception de 8311, la somme des chiffres est égale à 10.