Dixit – Nix It !

C’est un paradoxe. Comment les deux parties peuvent-elles penser qu’elles sont plus intelligentes que l’autre ? – Dixit & Nalebuff, p. 24 [1]

Le résultat tactique d’un engagement constitue la base de nouvelles décisions stratégiques, car la victoire ou la défaite au cours d’une bataille modifie la situation à un point tel qu’aucune perspicacité humaine n’est capable de voir au-delà de la première bataille. H. v. Moltke l’Ancien, 1871, après avoir battu les Français. Il semble qu’il s’agisse davantage d’une paraphrase ou d’un corollaire que d’une traduction de l’original allemand, qui est, bien entendu, plus évocateur. Kein Operationsplan reicht mit einiger Sicherheit über das erste Zusammentreffen mit der feindlichen Hauptmacht hinaus. Ma traduction est la suivante : Aucun plan d’opérations ne survit au premier contact avec la force principale de l’ennemi avec un degré de certitude appréciable.

L’année dernière, un jour avant de me fracturer sans cérémonie le péroné, j’ai publié un essai faisant l’éloge du livre magistral de Dixit & Nalebuff (2008) sur L’art de la stratégie. J’ai adoré l’expérience de pensée qu’ils ont présentée sur la première page du chapitre 1, une expérience conçue pour faire comprendre au lecteur une distinction cruciale : la distinction entre la pensée stratégique et la pensée non stratégique. Une distinction connexe est celle entre les jeux contre la nature et les jeux sociaux (Hoffrage & Hertwig, 2012).

Essentiellement, les jeux sociaux sont stratégiques lorsque le succès de nos délibérations dépend également de ce que les autres ont décidé de faire après avoir traversé des délibérations similaires. Les dilemmes sociaux sont des prototypes de situations nécessitant un raisonnement stratégique (Dawes, 1980 ; Krueger, Evans, Heck, 2017). Il est important de noter qu’il n’est pas nécessaire que les intérêts des joueurs soient en conflit. Les jeux coopératifs peuvent eux aussi être dilemmatiques et stratégiques.

Prenons l’exemple des jeux de coordination. Si, par exemple, vous gagnez tous les deux plus en misant sur Pile qu’en misant sur Face et que vous ne gagnez rien en misant sur des faces différentes de la pièce, la réflexion stratégique entre en jeu. Le fait que vous ayez misé sur Pile nous indique que vous pensez que votre partenaire va également miser sur Face, mais pourquoi ferait-elle cela ? Parce qu’elle pense que vous miserez sur Pile parce que vous pensez qu’elle le fera aussi, et ainsi de suite, jusqu’au fond du terrier (Colman, 2003). Le raisonnement stratégique implique la mentalisation, c’est-à-dire qu’il implique des simulations de l’esprit du partenaire ou de l’adversaire, un esprit qui contient des simulations de votre esprit. Il s’agit bien d’un terrier de lapin.

Dixit & Nalebuff nous ont demandé d’étudier un jeu de devinettes. Dans une version du jeu, un proposant, P1, choisit un nombre au hasard et un répondant, P2, essaie de deviner ce nombre. Dans une autre version du jeu, P1 choisit un nombre avec l’intention de rendre la vie difficile à P2. Seule cette dernière version du jeu est stratégique, car les deux joueurs peuvent entrer dans un état d’esprit où ils essaient d’être plus malins que l’autre. Chaque joueur peut être tenté de penser qu’il peut faire mieux que dans la première version du jeu où le hasard est roi. Pour une description plus complète du jeu, voir mon article précédent(Krueger, 2019), ou se procurer un exemplaire du livre de Dixit et Nalebuff. Mais ici, nous simplifions.

Dans le jeu 1, P1 reçoit une dotation de 6 $. Elle choisit au hasard un nombre de un à six, peut-être en lançant un dé. P2 devine un nombre, probablement en essayant de simuler un événement aléatoire unique, et peut-être en lançant également un dé. La valeur attendue du jeu est de 5 $ pour P1 et de 1 $ pour P2.

Le jeu 2 est identique, sauf que P1 peut choisir un nombre, quelle que soit sa signification. Elle peut toujours lancer un dé ; elle peut tenter de simuler la génération aléatoire d’un événement unique dans son esprit(bonne chance !), ou elle peut faire le truc du trou de lapin, peut-être dans l’espoir d’augmenter la valeur attendue au-delà de la ligne de base aléatoire. Si elle réussissait, cela reviendrait à diminuer la valeur attendue pour P2, puisque le jeu est à somme nulle.

Puisque nous faisons tant de cas de la distinction entre le raisonnement stratégique et tous les autres raisonnements, ne devrait-on pas dire qu’un maître stratège peut vaincre le hasard ? C’est possible, mais cela dépend du rôle qui lui est assigné. Pour préfigurer l’inévitable : P2, le devin, a une lueur d’espoir d’augmenter ses gains, mais P1, le choisisseur, n’en a pas.

Considérons le jeu 2 comme une situation dans laquelle chaque joueur a le choix entre la génération aléatoire d’un nombre et la sélection stratégique d’un nombre. Chaque joueur faisant l’un ou l’autre, nous avons quatre intersections. A savoir :

Tout d’abord, si les deux joueurs choisissent le hasard, ils se contentent tous deux de la valeur attendue. Disons qu’ils normalisent cette valeur à zéro. Deuxièmement, si P1 choisit le hasard, mais que P2 essaie de deviner stratégiquement le nombre, P2 gaspille sa matière grise ; le hasard – par définition – ne peut pas être maîtrisé. Là encore, la valeur des deux joueurs est égale à zéro. Troisièmement, si P1, celui qui choisit, opte pour une mentalisation intelligente, tandis que P2, celui qui devine, randomise, toute cette mentalisation ne sert à rien. Il n’y a rien à mentaliser si l’adversaire randomise. Là encore, la valeur subjective est nulle pour les deux joueurs.

Quatrièmement, si P1 choisit un nombre par la force de l’esprit et que P2 cherche à prédire ce nombre, également par la force de l’esprit, nous pourrions avoir quelque chose d’intéressant. Comme les deux joueurs abandonnent le hasard, il est plus probable que leurs préjugés soient similaires que différents. Il n’y a aucune raison concevable pour que deux personnes choisies au hasard aient des mentalités négativement corrélées. Si des forces systématiques sont à l’œuvre pour que certains nombres viennent à l’esprit plus que d’autres, ces forces agissent sur la population de personnes à partir de laquelle P1 et P2 sont échantillonnées. Cela signifie que si P1 et P2 mentalisent tous deux, peut-être dans l’espoir exagéré ou valorisant d’être plus intelligents l’un que l’autre, la probabilité de se retrouver avec des nombres correspondants sera supérieure à 1/6.

Cette analyse montre que la mentalisation mutuelle ne peut être bonne que pour P2, le devin, mais pas pour P1, le choisisseur. P1, s’il n’est pas stupide, s’en rendra compte et choisira au hasard. P2, cependant, pourrait deviner stratégiquement, juste au cas où P1 serait stupidement trop confiant.

En fin de compte, l’expérience de pensée intelligente de Dixit et Nalebuff est un leurre, car il n’y a pas grand-chose à gagner à être stratégique. Pour P1, la meilleure stratégie consiste à ne pas être stratégique, et pour P2, une stratégie non aléatoire ne sera payante que si P1 ne parvient pas à être rationnel. Bien sûr, ce que les gens, et les jeunes entrepreneurs en particulier, veulent vraiment, c’est qu’on leur dise comment être stratégiques afin qu’ils puissent gagner – même contre des adversaires qui ont suivi le même séminaire. Mais, comme Dixit et Nalebuff le reconnaissent eux-mêmes(voir l’épigraphe), il s’agit là d’une illusion. La théorie des jeux peut les aider à être défensifs et à se protéger de l’exploitation. Elle ne peut les aider à vaincre leurs concurrents que si ces derniers sont stupides ou s’ils n’ont pas étudié la théorie des jeux. Mais les théoriciens des jeux croient – de manière assez doctrinaire – que ces concurrents ne sont pas stupides et qu’ils ont étudié (Binmore, 2007).

Il y a cependant de l’espoir pour les créatifs et les impitoyables. Schelling (1960) a appris aux théoriciens des jeux et à nous autres à sortir des sentiers battus. Dans un jeu de poulets, vous pouvez l’emporter en vous handicapant visiblement. Si vous et James Dean êtes sur une trajectoire de collision, jetez votre volant par la fenêtre pour que James puisse le voir, et James fera un écart. Vous gagnerez la partie et James sera au moins en vie, pour l’instant.

Ce mode de pensée schellingien est perfectionné dans Princess Bride, une histoire et un film classiques américains. Le bon Westley propose à la répugnante Vizzini un jeu pour régler ses comptes. Il empoisonnera une coupe de vin et Vizzini pourra choisir dans quelle coupe il boira ; Westley boira dans l’autre (voir ici pour le clip). Ensuite, comme le dit Westley, l’un des deux aura raison et l’autre sera mort. Vizzini note habilement qu’il ne boira pas dans la coupe que Westley lui présentera, mais il ne boirait pas dans la coupe présentée à Westley, car ce dernier aurait certainement prévu que Vizzini était suffisamment intelligent pour faire des déductions. Vizzini revient donc à la tasse qu’il a devant lui, une décision qu’il admet rapidement que Westley avait prévue. Et ainsi de suite jusqu’à ce que Westley insiste pour que Vizzini choisisse une tasse et boive. Vizzini déclare triomphalement que la tasse devant lui est la bonne, boit et meurt.

Westley révèle plus tard qu’il a fait un coup de Schelling à Vizzini. Il a empoisonné les deux coupes et s’est donné un antidote. C’est tout simplement brillant. On peut l’appeler une méta-stratégie. Lorsque la théorie des jeux échoue, il faut sortir des sentiers battus. Serait-ce possible dans le jeu des nombres de Dixit et Nalebuff ? Je vous laisse le soin de le découvrir.

Quant à la photo qui orne ce billet, il s’agit du lointain Hintersee dans les Alpes bavaroises. Les montagnes se reflètent dans le lac et la photo est à l’envers. Un jeu social avec la nature.

[1] Paradoxe ? Bien sûr, les deux parties peuvent penser qu’elles sont plus intelligentes que l’autre. Ce n’est pas un paradoxe. Au moins l’un des deux a tort, et l’autre peut avoir raison. Nous ne voudrions pas accuser ce dernier de penser de manière paradoxale. Un paradoxe implique une auto-contradiction apparente ou réelle. Lorsque les deux pensent qu’ils peuvent être plus malins que l’autre, ils se contredisent l’un l’autre, mais pas eux-mêmes.