Le défi des puzzles de chevaliers et d’écuyers

La logique n’est pas facile à définir. Les philosophes et les mathématiciens parlent aujourd’hui de logiques (au pluriel) pour indiquer qu’il existe de nombreuses façons dont le raisonnement logique se manifeste, en fonction de la situation. Le philosophe américain Charles Peirce distinguait deux types de logiques : la logicautens (logique pratique) et la logica docens (logique théorique ou savante). La première est une « logique en usage » rudimentaire que tout le monde possède sans pouvoir préciser ce qu’elle est. Peirce la distingue de la seconde, qu’il définit comme un usage sophistiqué et didactique de la logique, pratiqué par les mathématiciens, les scientifiques, les détectives et les médecins.

Comme tout le monde possède des ustensiles de logique, il n’est pas nécessaire d’avoir une formation particulière pour comprendre le sens de la plupart des énigmes logiques ou pour savoir ce qu’il faut faire pour les résoudre. L’une d’entre elles est l’énigme dite « des chevaliers et des voleurs ». Dans les années 1930, le casse-tête britannique Hubert Phillips (1891-1964), connu de ses lecteurs sous le nom de « Caliban », le personnage monstrueux de la pièce de Shakespeare La Tempête, a introduit ce type d’énigme, qui a ensuite été développé en un genre d’énigme distinct par le regretté logicien et brillant casse-tête Raymond Smullyan (1919-2017).

Voici la version classique :

Les habitants d’une ville appartiennent à l’un des deux clans suivants : les Chevaliers ou les Cavaliers. Les Chevaliers disent toujours la vérité, quelle que soit la situation, tandis que les Cavaliers mentent toujours. Une anthropologue nommée Maria, étrangère à cette culture, a interrogé trois habitants masculins de la ville. « L’anthropologue demanda au premier : « À quel clan appartenez-vous ? Il a répondu par un marmonnement que Maria n’a pas pu comprendre. « Qu’a-t-il dit ? » demande Maria au deuxième et au troisième, qui lui répondent clairement. « Il a dit qu’il était chevalier », dit le deuxième. « Non, il a dit qu’il était un valet », répliqua le troisième. À quels clans appartiennent les deuxième et troisième individus ?

Il y a deux possibilités pour le premier orateur : Soit c’est un chevalier, soit c’est un valet. Supposons qu’il soit chevalier. À la question de Maria, « À quel clan appartenez-vous ? », il aurait répondu, en toute honnêteté, « Je suis chevalier ». Supposons plutôt qu’il soit un valet. En réponse à la question « À quel clan appartenez-vous ? », il n’aurait pas dit, en toute honnêteté, « Je suis un chevalier ». Il aurait menti et dit à la place : « Je suis un chevalier ». Quoi qu’il en soit, la déclaration marmonnée aurait été : « Je suis un chevalier ». Le deuxième individu a donc dit la vérité en réponse à la question de l’anthropologue : « Qu’a-t-il dit ? ». L’individu est donc un chevalier. Le troisième a évidemment menti. Le troisième individu est donc un valet. Il n’est pas possible de déterminer le clan auquel appartenait le premier.

Ce type d’énigme fait appel à plusieurs éléments de logique (pratique et théorique) en tandem, dont deux se distinguent : le test d’hypothèse (faire des suppositions sur le clan auquel appartient un individu inconnu) et l’inférence (identifier les énoncés qui sont vrais et ceux qui sont faux sur la base des énoncés les uns par rapport aux autres). Voici cinq énigmes de ce type. J’ai constaté que certaines personnes les trouvent faciles, d’autres difficiles. Comme toujours dans le domaine des énigmes, il n’est pas possible de déterminer si une énigme est facile ou difficile – cela dépend principalement de la personne qui la résout.

Casse-tête

Note : Dans toutes les énigmes, les Chevaliers sont ceux qui disent toujours la vérité, et les Cavaliers sont ceux qui mentent toujours.

1. Notre anthropologue Maria a rencontré deux autres personnes, une jeune femme et un jeune homme. Maria a demandé à la jeune femme « Êtes-vous un valet, oui ou non ? » A nouveau, l’individu marmonna quelque chose d’incompréhensible. Maria demande alors au jeune homme ce qu’elle a dit. Il répond : « Elle a dit non. » Pouvez-vous deviner à quel clan appartenait le jeune homme ?

2. Maria s’aventure dans un autre quartier de la ville où elle rencontre deux autres personnes, une femme et un homme. Elle pose au premier son type de question habituel : « Êtes-vous un chevalier ? » Comme on pouvait s’y attendre, la réponse de la femme est confuse. Maria demande alors à son partenaire ce qu’elle a dit. Il répond : « Elle a dit oui, mais c’est une menteuse« . Pouvez-vous déterminer à quel(s) clan(s) appartiennent les deux informateurs ?

3. Dans un autre quartier de la ville, Maria rencontre trois autres personnes : Betty, Debbie et Jenny. On lui a dit que l’une d’entre elles était un chevalier et les deux autres des esclaves, mais elle ne sait pas qui est qui. Elle demande à Betty : « Es-tu un chevalier ? ». Betty répond de manière incompréhensible. Elle demande alors à Debbie : « Est-ce que Betty a dit qu’elle était en fait un chevalier ? », ce à quoi Debbie répond : « Non, elle ne l’a pas dit ». Elle se tourne alors vers Jenny. Elle se tourne alors vers Jenny : « Ok, dis-moi alors, est-ce que Betty a dit qu’elle était un chevalier ? ». Jenny répond : « Non, elle ne l’a pas dit. » A quels clans appartenaient ces trois personnes ?

4. Maria décide de se rendre dans un autre quartier de la ville. Elle y rencontre trois autres personnes : Alan, Ben et Chuck. On lui a dit qu’ils appartenaient au même clan, mais elle ne sait pas lequel. Elle pose donc la même question à Alan et Ben : « Faites-vous partie du clan des Chevaliers ? » Leurs réponses sont toutes deux bredouillées. Elle demande ensuite à Chuck : « Qu’ont dit vos partenaires ? » Chuck répond comme suit : « Ils ont dit oui, et c’est la vérité ! » A quel clan appartenaient ces trois personnes ?

5. Maria décide de se rendre dans un dernier quartier de la ville. Elle y rencontre deux autres personnes. Elle demande au premier : « Êtes-vous un valet ? » L’individu répond, comme on pouvait s’y attendre, en marmonnant. Elle lui demande alors ce qu’il a dit. Il répond : « Elle a dit non. Nous sommes tous les deux Chevaliers. » À quel(s) clan(s) appartenaient-ils ?

Réponses

1. Si la femme était un chevalier, elle répondrait honnêtement à la question « Êtes-vous un chevalier, oui ou non ? « Non, je ne suis pas un chevalier ». Si elle était effectivement chevalier, elle ne l’admettrait certainement pas, car ce serait la vérité. Elle le nierait donc et dirait elle aussi : « Non, je ne suis pas un chevalier ». L’informateur masculin a clairement dit la vérité. La femme a bien dit « non ». Il est donc Chevalier. Nous ne pouvons cependant pas déterminer à quel clan appartient la femme.

2. Encore une fois, si le premier informateur était effectivement un chevalier, à la question « Êtes-vous chevalier ? », il répondrait sincèrement « Oui ». S’il s’agissait d’un chevalier malhonnête, elle répondrait également « Oui », même s’il s’agit d’un mensonge – en tant que chevalier, elle ne peut pas s’en empêcher ! Or, l’informateur masculin a dit la vérité, puisqu’il souligne qu’elle a effectivement dit « Oui ». C’est donc un Chevalier. La deuxième partie de sa déclaration, qui est également vraie, étant donné qu’il est Chevalier, désigne la femme comme étant un valet – « mais c’est une menteuse », comme il le dit.

3. Comme nous le savons maintenant, la réponse d’un individu à la question « Êtes-vous un chevalier ? » sera invariablement « Oui », qu’il s’agisse ou non de la vérité. Je répète : Si Betty était Chevalier, elle répondrait « Oui ». Si elle était un valet, elle mentirait et dirait également « Oui ». En réponse à la question : « Est-ce que Betty a dit qu’elle était un chevalier ? » Debbie répond : « Non, elle ne l’a pas dit. » C’est manifestement faux puisque Betty aurait dit « Oui » quel que soit le clan auquel elle appartenait. Jenny a également répondu « Non », ce qui est également un mensonge. Debbie et Jenny sont donc les deux esclaves, ce qui laisse Betty comme chevalier.

En réponse à « Betty est-elle vraiment comme Knight ? » Debbie répond : « Non, elle ne l’est pas ». Nous savons que ce n’est pas le cas. Debbie est donc une menteuse et donc un valet. Jenny répond également « Non ». Elle est donc également un valet. Nous savons qu’il y a deux esclaves dans le groupe et un chevalier. Ce dernier est clairement Betty, qui a effectivement dit la vérité.

4. La réponse à la question « Appartenez-vous au clan des chevaliers ? » serait invariablement « Oui », comme nous le savons maintenant – dans le cas d’un chevalier, ce serait la vérité ; dans le cas d’un chevalier, ce serait faux. Alan et Ben auraient donc tous deux répondu « Oui ». La réponse de Chuck à la question « Qu’ont dit vos partenaires ? » est « Ils ont dit oui ». C’est bien sûr la vérité. Il est donc Chevalier. Puisque les trois appartenaient au même clan, Alan et Ben le sont aussi.

5. La réponse à la question « Êtes-vous un Knave ? » serait « Non ». Un chevalier dirait cela, et ce serait la vérité ; un chevalier dirait également cela, car un vrai chevalier est un menteur et ne l’admettrait jamais. Le deuxième individu a clairement dit la vérité en répondant « Elle a dit non ». La deuxième partie de sa déclaration, « Nous sommes tous les deux des chevaliers », les identifie comme des chevaliers.